Pin
Send
Share
Send


Euclid zoals afgebeeld door Justus van Gent, c. vijftiende eeuw; geen enkele gelijkenis of beschrijving van Euclides fysieke uiterlijk tijdens zijn leven overleeft

Euclid (ook wel aangeduid als Euclid van Alexandrië) (Grieks: Εὐκλείδης) (ca. 325 v.Chr. - ca. 265 v.Chr.), Een Griekse wiskundige, die in Alexandrië, Hellenistisch Egypte, vrijwel zeker tijdens het bewind van Ptolemaeus I leefde (323 BCE-283 BCE), wordt vaak genoemd als de 'vader van de geometrie'. Zijn meest populaire werk, Elements, wordt beschouwd als een van de meest succesvolle leerboeken in de geschiedenis van de wiskunde. Daarin worden de eigenschappen van geometrische objecten afgeleid uit een kleine reeks axioma's, waarmee de axiomatische methode van wiskunde wordt vastgesteld. Euclid legde dus een logische organisatie op aan bekende wiskundige waarheden, door het gedisciplineerde gebruik van logica. Latere filosofen pasten deze methode aan hun eigen vakgebied aan.

Hoewel het meest bekend om zijn uiteenzetting van geometrie, de Elements omvat ook verschillende resultaten in de getaltheorie, zoals het verband tussen perfecte getallen en Mersenne-priemgetallen, het bewijs van de oneindigheid van priemgetallen, Euclides lemma over factorisatie (die leiden tot de fundamentele stelling van rekenkunde, op uniekheid van priemfactoren), en het Euclidische algoritme voor het vinden van de grootste gemene deler van twee getallen. Elements werd gepubliceerd in ongeveer duizend edities en werd gedurende tweeduizend jaar door de westerse wereld gebruikt als basistekst voor geometrie.

Euclid schreef ook werken over perspectief, kegelsneden, sferische geometrie en mogelijk vierhoekige oppervlakken. Noch het jaar, noch de plaats van zijn geboorte zijn vastgesteld, noch de omstandigheden van zijn dood.

Leven

Er is weinig bekend over Euclid buiten wat erin wordt gepresenteerd Elements en zijn andere overgebleven boeken. De weinige biografische informatie die we hebben komt grotendeels uit commentaren van Proclus en Pappus van Alexandrië: Euclid was actief in de grote bibliotheek van Alexandrië en heeft mogelijk gestudeerd aan Plato's Academie in Griekenland. De exacte levensduur en geboorteplaats van Euclid zijn onbekend. Sommige schrijvers in de middeleeuwen verwarren hem ten onrechte met Euclid van Megara, een Griekse socratische filosoof die ongeveer een eeuw eerder leefde.

Werken

Het frontispice van de eerste Engelse versie van Sir Henry Billingsley van Euclid Elements, 1570

Euclides beroemdste werk, Elements, wordt beschouwd als een van de meest succesvolle leerboeken in de geschiedenis van de wiskunde. Daarin worden de eigenschappen van geometrische objecten afgeleid uit een kleine reeks axioma's, waarmee de axiomatische methode van wiskunde wordt vastgesteld.

Naast de Elements, hebben vijf werken van Euclid tot op de dag van vandaag overleefd.

  • Gegevens behandelt de aard en implicaties van "gegeven" informatie in geometrische problemen; het onderwerp is nauw verwant aan de eerste vier boeken van het Elements.
  • Over afdelingen van figuren, dat slechts gedeeltelijk overleeft in de Arabische vertaling, betreft de verdeling van geometrische figuren in twee of meer gelijke delen of in delen in gegeven verhoudingen. Het is vergelijkbaar met een werk uit de derde eeuw G.T. van Heron of Alexandria, behalve dat het werk van Euclides kenmerkend geen numerieke berekeningen mist.
  • Phaenomena betreft de toepassing van sferische geometrie op problemen van de astronomie.
  • Optiek, het vroegst overleefde Griekse verhandeling over perspectief, bevat stellingen over de schijnbare afmetingen en vormen van objecten bekeken vanuit verschillende afstanden en hoeken.
  • Katoptrics, die betrekking heeft op de wiskundige theorie van spiegels, met name de beelden gevormd in vlakke en bolvormige concave spiegels.

Al deze werken volgen de logische basisstructuur van de Elements, met definities en bewezen proposities.

Er zijn vier werken geloofwaardig toegeschreven aan Euclid die verloren zijn gegaan.

  • conics was een werk over kegelsneden dat later door Apollonius van Perga werd uitgebreid tot zijn beroemde werk over dit onderwerp.
  • Porisms was misschien een uitloper van Euclides werk met kegelsneden, maar de exacte betekenis van de titel is controversieel.
  • Pseudariaof Book of Fallacies, was een elementaire tekst over redeneerfouten.
  • Surface Loci betreft ofwel loci (reeksen punten) op oppervlakken of loci die zelf oppervlakken waren; volgens de laatste interpretatie is de hypothese dat het werk mogelijk met vierkanten oppervlakken te maken heeft gehad.

Elements

Euclid Elements (Grieks: Στοιχεῖα) is een wiskundig en geometrisch verhandeling, bestaande uit dertien boeken, geschreven rond 300 voor Christus. Het omvat een verzameling definities, postulaten (axioma's), stellingen (stellingen en constructies) en bewijzen van de stellingen. De dertien boeken behandelen de Euclidische meetkunde en de oude Griekse versie van de elementaire getaltheorie. De Elements is de oudste nog bestaande axiomatische deductieve behandeling van wiskunde, en is bewezen instrumenteel in de ontwikkeling van logica en moderne wetenschap.

Euclid Elements is het meest succesvolle leerboek ooit geschreven. Het was een van de allereerste werken die werden gedrukt nadat de drukpers was uitgevonden, en staat alleen na de bijbel in aantal gepubliceerde edities (ruim duizend). Het werd ongeveer tweeduizend jaar lang gebruikt als basistekst over geometrie in de hele westerse wereld. Eeuwenlang, toen het quadrivium werd opgenomen in het curriculum van alle universitaire studenten, kennis van ten minste een deel van Euclides Elements was vereist van alle studenten. Pas in de twintigste eeuw werd het niet langer beschouwd als iets dat alle ontwikkelde mensen hadden gelezen.

Het geometrische systeem beschreven in Elements stond al lang bekend als 'de' geometrie. Tegenwoordig wordt het echter vaak Euclidische geometrie genoemd om het te onderscheiden van andere zogenaamde niet-Euclidische geometrieën die werden ontdekt in de negentiende eeuw. Deze nieuwe geometrieën zijn voortgekomen uit meer dan twee millennia onderzoek naar het vijfde postulaat van Euclides (Parallel postulaat), een van de meest bestudeerde axioma's in alle wiskunde. De meeste van deze onderzoeken betroffen pogingen om het relatief complexe en vermoedelijk niet-intuïtieve vijfde postulaat te bewijzen met behulp van de andere vier (een prestatie die, indien succesvol, zou hebben aangetoond dat het postulaat in feite een stelling is).

Geschiedenis

Vrouw lesgeven geometrie, illustratie aan het begin van een middeleeuwse vertaling van Euclides Elements (ca. 1310)

Geleerden geloven dat Elements is grotendeels een verzameling stellingen die door eerdere wiskundigen zijn bewezen, naast wat origineel werk van Euclid. De tekst van Euclid biedt enkele ontbrekende bewijzen en bevat paragrafen over getaltheorie en driedimensionale geometrie. Euclides beroemde bewijs van de oneindigheid van priemgetallen staat in Boek IX, Stelling 20.

Proclus, een Griekse wiskundige die enkele eeuwen na Euclid leefde, schrijft in zijn commentaar op de Elements: "Euclid, die de Elements, verzamelde veel van Eudoxus 'stellingen, perfectioneerde veel van Theaetetus's, en bracht ook tot onweerlegbare demonstraties van de dingen die slechts enigszins losjes door zijn voorgangers werden bewezen. "

Een versie door een leerling van Euclid genaamd Proclo werd later in het Arabisch vertaald nadat hij door de Arabieren was verkregen van Byzantium en van die secundaire vertalingen in het Latijn. De eerste gedrukte editie verscheen in 1482 (gebaseerd op de 1260-editie van Giovanni Campano) en is sindsdien in vele talen vertaald en in ongeveer duizend verschillende edities gepubliceerd. In 1570 gaf John Dee een alom gerespecteerd 'wiskundig voorwoord', samen met uitgebreide aantekeningen en aanvullend materiaal, aan de eerste Engelse editie van Henry Billingsley.

Kopieën van de Griekse tekst bestaan ​​ook in de Vaticaanse bibliotheek en de Bodlean-bibliotheek in Oxford. De beschikbare manuscripten zijn echter van zeer variabele kwaliteit en steevast onvolledig. Door een zorgvuldige analyse van de vertalingen en originelen zijn hypothesen getrokken over de inhoud van de originele tekst (kopieën hiervan zijn niet langer beschikbaar).

Oude teksten die verwijzen naar de Elements zelf en voor andere wiskundige theorieën die actueel waren toen het werd geschreven, zijn ook belangrijk in dit proces. Dergelijke analyses worden uitgevoerd door J. L. Heiberg en Sir Thomas Little Heath in hun edities van Elements.

Ook van belang zijn de scholiaof aantekeningen op de tekst. Deze toevoegingen, die zich vaak van de hoofdtekst onderscheidden (afhankelijk van het manuscript), stapelden zich in de loop van de tijd geleidelijk op naarmate de meningen varieerden over wat een verklaring of opheldering waard was.

Overzicht van de Elements

Een bewijs van dat van Euclid Elements dat, gegeven een lijnsegment, er een gelijkzijdige driehoek bestaat die het segment als een van zijn zijden omvat. Het bewijs is door de constructie: een gelijkzijdige driehoek ΑΒΓ wordt gemaakt door cirkels Δ en Ε te tekenen met het middelpunt op de punten Α en Β, en een snijpunt van de cirkels te nemen als het derde hoekpunt van de driehoek.

De Elements wordt nog steeds beschouwd als een meesterwerk in de toepassing van logica op wiskunde, en historisch gezien kan de invloed ervan op veel gebieden van de wetenschap niet genoeg worden benadrukt. Wetenschappers Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileo Galilei, en vooral Sir Isaac Newton, pasten alle kennis van de Elements naar hun werk. Wiskundigen (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) en filosofen zoals Baruch Spinoza hebben ook geprobeerd de methode van Euclid van geaxiomatiseerde deductieve structuren te gebruiken om een ​​basis te leggen voor hun eigen respectieve disciplines. Zelfs vandaag de dag hebben inleidende wiskundeboeken vaak het woord elementen in hun titels.

Het succes van de Elements is voornamelijk te danken aan de logische presentatie van de meeste wiskundige kennis waarover Euclid beschikt. Veel van het materiaal is niet origineel voor hem, hoewel veel van de bewijzen van hem zijn. Euclides systematische ontwikkeling van zijn onderwerp, van een kleine reeks axioma's tot diepe resultaten, en de consistentie van zijn aanpak gedurende de hele Elements, moedigde het gebruik ervan als een leerboek voor ongeveer tweeduizend jaar aan. De Elements beïnvloedt nog steeds moderne geometrieboeken. Verder blijft de logische axiomatische benadering en rigoureuze bewijzen de hoeksteen van de wiskunde.

Hoewel Elements is voornamelijk een geometrisch werk, maar bevat ook resultaten die vandaag als getaltheorie zouden worden geclassificeerd. Euclid koos er waarschijnlijk voor om resultaten in de getaltheorie te beschrijven in termen van geometrie omdat hij geen constructieve benadering van rekenen kon ontwikkelen. Een constructie die in een van de bewijzen van Euclid werd gebruikt, vereiste een bewijs dat het echt mogelijk is. Dit vermijdt de problemen die de pythagoreeërs tegenkwamen met irrationals, omdat hun misleidende bewijzen meestal een verklaring vereisten zoals 'Vind de grootste gemeenschappelijke maat voor ... "1

Eerste principes

Euclides boek 1 begint met 23 definities zoals punt, lijnen oppervlakte-volgd door vijf postulaten en vijf 'gemeenschappelijke begrippen' (die beide vandaag axioma's worden genoemd). Dit zijn de fundamenten van alles wat volgt.

postulaten:

  1. Een recht lijnsegment kan worden getekend door twee willekeurige punten samen te voegen.
  2. Een recht lijnsegment kan voor onbepaalde tijd in een rechte lijn worden verlengd.
  3. Bij een recht lijnsegment kan een cirkel worden getekend met het segment als straal en één eindpunt als middelpunt.
  4. Alle rechte hoeken zijn congruent.
  5. Als twee lijnen worden getrokken die een derde zodanig kruisen dat de som van de binnenste hoeken aan één zijde minder is dan twee rechte hoeken, dan moeten de twee lijnen elkaar onvermijdelijk kruisen aan die zijde indien ver genoeg uitgestrekt.

Gemeenschappelijke begrippen:

  1. Dingen die hetzelfde zijn, zijn aan elkaar gelijk (transitieve eigenschap van gelijkheid).
  2. Als gelijken aan gelijken worden toegevoegd, zijn de bedragen gelijk.
  3. Als gelijken van gelijken worden afgetrokken, zijn de restanten gelijk.
  4. Dingen die samenvallen zijn gelijk aan elkaar. (Reflexieve eigenschap van gelijkheid)
  5. Het geheel is groter dan het deel.

Deze basisprincipes weerspiegelen de interesse van Euclides, samen met zijn hedendaagse Griekse en Hellenistische wiskundigen, in constructieve geometrie. De eerste drie postulaten beschrijven in principe de constructies die men met een kompas en een ongemarkeerde richtliniaal kan uitvoeren. Een gemarkeerde liniaal, gebruikt in de neusisconstructie, is verboden in de Euclidische constructie, waarschijnlijk omdat Euclid niet kon bewijzen dat de randen elkaar ontmoeten.

Parallel Postulaat

Als de som van de twee binnenhoeken gelijk is aan 180 °, zijn de lijnen evenwijdig en zullen elkaar nooit snijden

De laatste van de vijf postulaten van Euclid verdient speciale vermelding. Het zogenaamde parallelle postulaat leek altijd minder voor de hand liggend dan de anderen. Euclid zelf gebruikte het slechts spaarzaam in de rest van de Elements. Veel geometers vermoedden dat het mogelijk zou blijken uit de andere postulaten, maar alle pogingen om dit te doen mislukten.

Tegen het midden van de negentiende eeuw werd aangetoond dat er geen dergelijk bewijs bestaat, omdat men niet-euclidische geometrieën kan construeren waar het parallelle postulaat vals is, terwijl de andere postulaten waar blijven. Om deze reden zeggen wiskundigen dat het parallelle postulaat onafhankelijk is van de andere postulaten.

Twee alternatieven voor het parallelle postulaat zijn mogelijk in niet-Euclidische geometrieën: een oneindig aantal parallelle lijnen kan worden getrokken door een punt niet op een rechte lijn in een hyperbolische geometrie (ook wel Lobachevskiaanse geometrie), of niemand kan in een elliptische geometrie (ook wel genoemd) Riemanniaanse geometrie). Dat andere geometrieën logisch consistent konden zijn, was een van de belangrijkste ontdekkingen in de wiskunde, met grote implicaties voor wetenschap en filosofie. De algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein laat inderdaad zien dat de 'echte' ruimte waarin we leven niet-euclidisch kan zijn (bijvoorbeeld rond zwarte gaten en neutronensterren).

Inhoud van de dertien boeken

Boeken 1 tot en met 4 gaan over vlakke geometrie:

  • Boek 1 bevat de basiseigenschappen van geometrie: de stelling van Pythagoras, gelijkheid van hoeken en gebieden, parallellisme, de som van de hoeken in een driehoek, en de drie gevallen waarin driehoeken "gelijk" zijn (hetzelfde gebied hebben).
  • Boek 2 wordt gewoonlijk het 'boek van geometrische algebra' genoemd, omdat het materiaal dat het bevat gemakkelijk kan worden geïnterpreteerd in termen van algebra.
  • Boek 3 gaat over cirkels en hun eigenschappen: ingeschreven hoeken, raaklijnen, de kracht van een punt.
  • Boek 4 houdt zich bezig met het inschrijven en omschrijven van driehoeken en regelmatige polygonen.

Boeken 5 tot en met 10 introduceren verhoudingen en verhoudingen:

  • Boek 5 is een verhandeling over verhoudingen van grootten.
  • Boek 6 past verhoudingen toe op geometrie: de stelling van Thales, vergelijkbare figuren.
  • Boek 7 behandelt strikt de elementaire getaltheorie: deelbaarheid, priemgetallen, grootste gemene deler, kleinste gemene veelvoud.
  • Boek 8 behandelt verhoudingen in getaltheorie en geometrische reeksen.
  • Boek 9 past de resultaten van de voorgaande twee boeken toe: de oneindigheid van priemgetallen, de som van een geometrische reeks, perfecte getallen.
  • Boek 10 probeert onevenredige (in moderne, irrationele) grootten te classificeren met behulp van de methode van uitputting, een voorloper van integratie.

Boeken 11 tot en met 13 gaan over ruimtelijke geometrie:

  • Boek 11 generaliseert de resultaten van de boeken 1-6 naar de ruimte: haaksheid, parallellisme, volumes van parallellepipedum.
  • Boek 12 berekent gebieden en volumes met behulp van de methode van uitputting: kegels, piramides, cilinders en de bol.
  • Boek 13 generaliseert Boek 4 naar ruimte: gouden gedeelte, de vijf reguliere (of platonische) lichamen ingeschreven in een bol.

Kritiek

Ondanks zijn universele acceptatie en succes, de Elements is onderwerp van substantiële kritiek geweest, veel ervan gerechtvaardigd. Euclides parallelle postulaat, hierboven behandeld, is een primair doelwit van critici.

Een andere kritiek is dat de definities niet voldoende zijn om de te definiëren termen volledig te beschrijven. In de eerste constructie van Boek 1 gebruikte Euclid een premisse die noch was gepostuleerd noch bewezen: dat twee cirkels met middelpunten op de afstand van hun straal elkaar in twee punten zullen snijden (zie afbeelding hierboven). Later, in de vierde constructie, gebruikte hij de beweging van driehoeken om te bewijzen dat als twee zijden en hun hoeken gelijk zijn, ze congruent zijn; hij postuleerde of definieerde beweging zelfs niet.

In de negentiende eeuw, de Elements kreeg meer kritiek toen de postulaten zowel onvolledig als overtollig bleken te zijn. Tegelijkertijd trokken niet-euclidische geometrieën de aandacht van hedendaagse wiskundigen. Vooraanstaande wiskundigen, waaronder Richard Dedekind en David Hilbert, probeerden axioma's toe te voegen aan de Elements, zoals een axioma van continuïteit en een axioma van congruentie, om de Euclidische geometrie completer te maken.

Wiskundige en historicus W. W. Rouse Ball relativeren de kritiek en merkten op dat "het feit dat gedurende tweeduizend jaar de Elements was het gebruikelijke handboek over het onderwerp een sterk vermoeden oproept dat het niet ongeschikt is voor dat doel. "2

Notes

  1. ↑ Daniel Shanks (2002). Opgeloste en onopgeloste problemen in de getaltheorie. American Mathematical Society.
  2. ↑ W. W. Rouse Ball (1960). Een kort verslag van de geschiedenis van de wiskunde, 4de ed. (Originele publicatie: Londen: Macmillan & Co., 1908), Mineola, N.Y .: Dover Publications, 55. ISBN 0486206300.

Zie ook

  • Geometrie

Referenties

  • Artmann, Benno. (1999). Euclid: The Creation of Mathematics. New York: Springer. ISBN 0387984232.
  • Ball, W. W. Rouse. (1908). Een kort verslag van de geschiedenis van de wiskunde, 4de ed. New York: Dover Publications, 1960. pp. 50-62 ISBN 0486206300
  • Bulmer-Thomas, Ivor. (1971). "Euclid." Woordenboek van wetenschappelijke biografie.
  • Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements, 3 vols. New York: Dover Publications, 1956. ISBN 0486600882 (vol. 1), ISBN 0486600890 (vol. 2), ISBN 0486600904 (vol. 3)
  • Heath, Thomas L. (1981). Een geschiedenis van de Griekse wiskunde, 2 vols. New York: Dover Publications. ISBN 0486240738, ISBN 0486240746
  • Kline, Morris (1980). Wiskunde: het verlies van zekerheid. Oxford: Oxford University Press. ISBN 019502754X

Externe links

Alle links zijn opgehaald op 13 augustus 2017.

  • Euclid - MacTutor Biography
  • Aristoteles en wiskunde, Stanford Encyclopedia of Philosophy
  • Euclid's Elements - Alle dertien boeken, met interactieve diagrammen met behulp van Java - Clark University
  • Euclides.org - Alle dertien boeken, in het Spaans en Catalaans
  • Oliver Byrne's editie 1847 - Ongebruikelijke versie met kleur in plaats van labels zoals ABC (gescande paginabeelden, publiek domein) - Afdeling Wiskunde van de Universiteit van British Columbia
  • Reading Euclid - Universiteit van Denver
  • Heath's Engelse vertaling - Tufts University

Algemene filosofiebronnen

Bekijk de video: Euclid as the father of geometry. Introduction to Euclidean geometry. Geometry. Khan Academy (Oktober 2021).

Pin
Send
Share
Send